미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

단계 1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

단계 1.3

$e^{\frac{1}{4} x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $7$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 1.3.1

상수 배수 $7$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{4} x}}$

단계 1.3.2

지수 $\frac{1}{4} x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{\frac{1}{4} x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 3.3

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 e^{\frac{x}{4}}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 3.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

단계 3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

단계 3.4.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

단계 3.5

괄호를 제거합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

단계 3.6

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}$

단계 3.7

$\frac{1}{4}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7}{4} e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.8

$\frac{7}{4}$ 와 $e^{\frac{x}{4}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

단계 3.10

$\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

단계 5

인수끼리 묶습니다.

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단계 5.1

$3$ 와 $\frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

단계 5.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

단계 5.3

$x^{2}$ 와 $\frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

단계 6

$\frac{12}{7}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}}$

단계 7

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 7.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 7.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

단계 7.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

단계 7.1.3

지수 $\frac{x}{4}$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{\frac{x}{4}}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 7.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 7.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 7.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 7.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 7.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 7.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

단계 7.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

단계 7.3.3.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

단계 7.3.4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.5

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{\frac{x}{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

단계 7.3.7

$\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

단계 7.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} 2 x \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

단계 7.5

인수끼리 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$2$ 와 $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 4}{e^{\frac{x}{4}}}$

단계 7.5.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$

단계 7.5.3

$x$ 와 $\frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 8}{e^{\frac{x}{4}}}$

단계 8

$8$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}}$

단계 9

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 9.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

단계 9.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

단계 9.1.3

지수 $\frac{x}{4}$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{\frac{x}{4}}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

단계 9.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

단계 9.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 9.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 9.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

단계 9.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

단계 9.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

단계 9.3.3.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

단계 9.3.4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

단계 9.3.5

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{\frac{x}{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

단계 9.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

단계 9.3.7

$\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

단계 9.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} 1 \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

단계 9.5

$\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

단계 10

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$

단계 11

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 \cdot 0$

단계 12

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{12}{7} \cdot 8$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$\frac{12}{7}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{12 \cdot 8}{7} \cdot 4 \cdot 0$

단계 12.1.2

$12$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{96}{7} \cdot 4 \cdot 0$

단계 12.2

$\frac{96}{7} \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$\frac{96}{7}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{96 \cdot 4}{7} \cdot 0$

단계 12.2.2

$96$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{384}{7} \cdot 0$

단계 12.3

$\frac{384}{7}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$