미적분 예제

$r = \frac{1}{4 s^{3}} - \frac{7}{3 s^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4 s^{3}} - \frac{7}{3 s^{2}}$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $\frac{1}{4 s^{3}}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.2

$\frac{1}{s^{3}}$ 을 ${(s^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.3

$f (s) = s^{- 1}$ , $g (s) = s^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 는 $f' (g (s)) g' (s)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $s^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $s^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.5

${(s^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- s^{- 6} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- 3 s^{- 6} s^{2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.7

지수를 더하여 $s^{- 6}$ 에 $s^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$s^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{4} (- 3 (s^{2} s^{- 6})) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} (- 3 s^{2 - 6}) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} (- 3 s^{- 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.8

$- 3$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{4} s^{- 4} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.9

$\frac{- 3}{4}$ 와 $s^{- 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 s^{- 4}}{4} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 3}{4 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- \frac{7}{3}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $- \frac{7}{3 s^{2}}$ 의 미분은 $- \frac{7}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ 입니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$

단계 1.3.2

$\frac{1}{s^{2}}$ 을 ${(s^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}]$

단계 1.3.3

$f (s) = s^{- 1}$ , $g (s) = s^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 는 $f' (g (s)) g' (s)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $s^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}])$

단계 1.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

단계 1.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $s^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

단계 1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s))$

단계 1.3.5

${(s^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s))$

단계 1.3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (- s^{- 4} (2 s))$

단계 1.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (- 2 s^{- 4} s)$

단계 1.3.7

$s$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4}))$

단계 1.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (- 2 s^{1 - 4})$

단계 1.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{7}{3} (- 2 s^{- 3})$

단계 1.3.10

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + 2 (\frac{7}{3}) s^{- 3}$

단계 1.3.11

$2$ 와 $\frac{7}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{2 \cdot 7}{3} s^{- 3}$

단계 1.3.12

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{14}{3} s^{- 3}$

단계 1.3.13

$\frac{14}{3}$ 와 $s^{- 3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{14 s^{- 3}}{3}$

단계 1.3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{14}{3 s^{3}}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (s) = \frac{14}{3 s^{3}} - \frac{3}{4 s^{4}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{14}{3 s^{3}} - \frac{3}{4 s^{4}}$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d s} [\frac{14}{3 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d s} [\frac{14}{3 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d s} [\frac{14}{3 s^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{14}{3}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $\frac{14}{3 s^{3}}$ 의 미분은 $\frac{14}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ 입니다.

$\frac{14}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{s^{3}}$ 을 ${(s^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{14}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.3

$f (s) = s^{- 1}$ , $g (s) = s^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 는 $f' (g (s)) g' (s)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $s^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{14}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{14}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $s^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{14}{3} (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{14}{3} (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.5

${(s^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{14}{3} (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{3} (- s^{- 6} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{3} (- 3 s^{- 6} s^{2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.7

지수를 더하여 $s^{- 6}$ 에 $s^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

$s^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{14}{3} (- 3 (s^{2} s^{- 6})) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{14}{3} (- 3 s^{2 - 6}) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{14}{3} (- 3 s^{- 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.8

$- 3$ 와 $\frac{14}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 \cdot 14}{3} s^{- 4} + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.9

$- 3$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$\frac{- 42}{3} s^{- 4} + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.10

$\frac{- 42}{3}$ 와 $s^{- 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 42 s^{- 4}}{3} + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 42}{3 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.12

$- 42$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.12.1

$- 42$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot - 14}{3 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.12.2.1

$3 s^{4}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot - 14}{3 (s^{4})} + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot - 14}{3 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 14}{s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.2.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{14}{s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d s} [- \frac{3}{4 s^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- \frac{3}{4}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $- \frac{3}{4 s^{4}}$ 의 미분은 $- \frac{3}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ 입니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

단계 2.3.2

$\frac{1}{s^{4}}$ 을 ${(s^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

단계 2.3.3

$f (s) = s^{- 1}$ , $g (s) = s^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 는 $f' (g (s)) g' (s)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $s^{4}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

단계 2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

단계 2.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $s^{4}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

단계 2.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

단계 2.3.5

${(s^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

단계 2.3.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

단계 2.3.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

단계 2.3.7

지수를 더하여 $s^{- 8}$ 에 $s^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$s^{3}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

단계 2.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (- 4 s^{3 - 8})$

단계 2.3.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- \frac{14}{s^{4}} - \frac{3}{4} (- 4 s^{- 5})$

단계 2.3.8

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} + 4 (\frac{3}{4}) s^{- 5}$

단계 2.3.9

$4$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{14}{s^{4}} + \frac{4 \cdot 3}{4} s^{- 5}$

단계 2.3.10

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} + \frac{12}{4} s^{- 5}$

단계 2.3.11

$\frac{12}{4}$ 와 $s^{- 5}$ 을 묶습니다.

$- \frac{14}{s^{4}} + \frac{12 s^{- 5}}{4}$

단계 2.3.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} + \frac{12}{4 s^{5}}$

단계 2.3.13

$12$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.13.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} + \frac{4 \cdot 3}{4 s^{5}}$

단계 2.3.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.13.2.1

$4 s^{5}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} + \frac{4 \cdot 3}{4 (s^{5})}$

단계 2.3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{14}{s^{4}} + \frac{4 \cdot 3}{4 s^{5}}$

단계 2.3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (s) = - \frac{14}{s^{4}} + \frac{3}{s^{5}}$