미적분 예제

$s = (t^{4} - 3 t^{3} + 3) (1 - 2 t^{3})$

단계 1

$f (t) = t^{4} - 3 t^{3} + 3$ , $g (t) = 1 - 2 t^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \frac{d}{d t} [1 - 2 t^{3}] + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 t^{3}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]$ 가 됩니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

단계 2.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 2 t^{3}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 입니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 2 (3 t^{2})) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

단계 3.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$0$ 에서 $6 t^{2}$ 을 뺍니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $t^{4} - 3 t^{3} + 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3]$ 가 됩니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

단계 4.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

단계 5

$\frac{d}{d t} [- 3 t^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 3 t^{3}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 입니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

단계 5.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [3])$

단계 5.3

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2} + \frac{d}{d t} [3])$

단계 6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2} + 0)$

단계 6.2

$4 t^{3} - 9 t^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2})$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3}) + (1 - 2 t^{3}) (- 9 t^{2})$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + (1 - 2 t^{3}) (- 9 t^{2})$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

지수를 더하여 $t^{4}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$t^{2} t^{4} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$t^{2 + 4} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.1.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$t^{6} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.2

$t^{6}$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$- 6 \cdot t^{6} - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.3

$- 6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{3} t^{2} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.4

지수를 더하여 $t^{3}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.4.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 6 t^{6} + 18 (t^{2} t^{3}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{2 + 3} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.4.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.5

$- 6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.7

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{3} t^{3} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.8

지수를 더하여 $t^{3}$ 에 $t^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.8.1

$t^{3}$ 를 옮깁니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 (t^{3} t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{3 + 3} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.8.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.9

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

단계 7.5.10

$- 9$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{3} t^{2}$

단계 7.5.11

지수를 더하여 $t^{3}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.11.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 (t^{2} t^{3})$

단계 7.5.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{2 + 3}$

단계 7.5.11.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{5}$

단계 7.5.12

$- 6 t^{6}$ 에서 $8 t^{6}$ 을 뺍니다.

$- 14 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 9 t^{2} + 18 t^{5}$

단계 7.5.13

$- 18 t^{2}$ 에서 $9 t^{2}$ 을 뺍니다.

$- 14 t^{6} + 18 t^{5} + 4 t^{3} - 27 t^{2} + 18 t^{5}$

단계 7.5.14

$18 t^{5}$ 를 $18 t^{5}$ 에 더합니다.

$- 14 t^{6} + 36 t^{5} + 4 t^{3} - 27 t^{2}$