미적분 예제

$y = x - x^{2}$ , $y = 0$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = - x^{2} + x$ 일 때 $V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(- x^{2} + x)}^{2}$ 을 $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ 로 바꿔 씁니다.

$V = (- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - x^{2} (- x^{2} + x) + x (- x^{2} + x)$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2} + x)$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = 1 x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.4

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$V = x^{4} - x^{1 + 2} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$V = x^{4} - x^{3} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

단계 2.3.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$V = x^{4} - x^{3} - x \cdot x^{2} + x \cdot x$

단계 2.3.1.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

단계 2.3.1.7.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

단계 2.3.1.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$V = x^{4} - x^{3} - x^{2 + 1} + x \cdot x$

단계 2.3.1.7.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x \cdot x$

단계 2.3.1.8

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x^{2}$

단계 2.3.2

$- x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$V = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

단계 5

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

단계 6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

단계 8

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ 와 $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

단계 10.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

단계 10.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

단계 10.2.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1^{3}}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.5.1

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.5.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.5.3

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{3 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.5.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{3 + 5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.7

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.8

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.9

$0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.9.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.9.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.9.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.11

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.11.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.11.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.12

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.13

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{8}{15} + 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.14

$\frac{8}{15}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.15

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 10.2.3.16

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}))$

단계 10.2.3.17

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.17.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}))$

단계 10.2.3.17.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.17.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

단계 10.2.3.17.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

단계 10.2.3.17.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}))$

단계 10.2.3.17.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - 0))$

단계 10.2.3.18

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} + 0))$

단계 10.2.3.19

$\frac{1}{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4}))$

단계 10.2.3.20

$- 2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 2}{4})$

단계 10.2.3.21

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.21.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 (- 1)}{4})$

단계 10.2.3.21.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.21.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

단계 10.2.3.21.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

단계 10.2.3.21.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 1}{2})$

단계 10.2.3.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (\frac{8}{15} - \frac{1}{2})$

단계 10.2.3.23

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{8}{15}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

단계 10.2.3.24

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

단계 10.2.3.25

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $30$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.25.1

$\frac{8}{15}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

단계 10.2.3.25.2

$15$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

단계 10.2.3.25.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{2 \cdot 15})$

단계 10.2.3.25.4

$2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{30})$

단계 10.2.3.26

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{8 \cdot 2 - 15}{30})$

단계 10.2.3.27

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.27.1

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{16 - 15}{30})$

단계 10.2.3.27.2

$16$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{1}{30})$

단계 10.2.3.28

$π$ 와 $\frac{1}{30}$ 을 묶습니다.

$V = \frac{π}{30}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{π}{30}$

소수 형태:

$V = 0.10471975 \dots$

단계 12