미적분 예제

$\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1 + t^{3}} d t$

단계 1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1^{3} + t^{3}} d t]$

단계 2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = t$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

단계 3.2

$- 1 t$ 을 $- t$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

단계 4

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

단계 5.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{2 \cdot 2})}$

단계 5.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})}$