미적분 예제

$y = (x^{2} - 120) e^{x}$

단계 1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

단계 2

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

단계 3

도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

단계 3.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 120$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 120 e^{x}$ 의 미분은 $- 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$

단계 3.4.2

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$

단계 4

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 4.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1.1

$x^{2} e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$

단계 4.1.1.2

$2 x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x} = 0$

단계 4.1.1.3

$- 120 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

단계 4.1.1.4

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

단계 4.1.1.5

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 120) = 0$

단계 4.1.2

인수분해합니다.

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단계 4.1.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 120$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 120$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 10, 12$

단계 4.1.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$e^{x} ((x - 10) (x + 12)) = 0$

단계 4.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$

단계 4.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 12 = 0$

단계 4.3

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.3.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 4.3.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.3.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 4.3.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 4.3.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 4.4

$x - 10$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.4.1

$x - 10$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 10 = 0$

단계 4.4.2

방정식의 양변에 $10$ 를 더합니다.

$x = 10$

단계 4.5

$x + 12$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.5.1

$x + 12$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 12 = 0$

단계 4.5.2

방정식의 양변에서 $12$ 를 뺍니다.

$x = - 12$

단계 4.6

$e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 10, - 12$

단계 5

원래 함수 $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ 을 $x = 10$ 에서 풉니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $10$ 을 대입합니다.

$f (10) = {(10)}^{2} e^{10} - 120 e^{10}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$10$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (10) = 100 e^{10} - 120 e^{10}$

단계 5.2.2

$100 e^{10}$ 에서 $120 e^{10}$ 을 뺍니다.

$f (10) = - 20 e^{10}$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 20 e^{10}$ 입니다.

$- 20 e^{10}$

단계 6

원래 함수 $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ 을 $x = - 12$ 에서 풉니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 12$ 을 대입합니다.

$f (- 12) = {(- 12)}^{2} e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 12$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 12) = 144 e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

단계 6.2.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (- 12) = 144 (\frac{1}{e^{12}}) - 120 e^{- 12}$

단계 6.2.1.3

$144$ 와 $\frac{1}{e^{12}}$ 을 묶습니다.

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 e^{- 12}$

단계 6.2.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 \frac{1}{e^{12}}$

단계 6.2.1.5

$- 120$ 와 $\frac{1}{e^{12}}$ 을 묶습니다.

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} + \frac{- 120}{e^{12}}$

단계 6.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - \frac{120}{e^{12}}$

단계 6.2.2

분수를 통분합니다.

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단계 6.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- 12) = \frac{144 - 120}{e^{12}}$

단계 6.2.2.2

$144$ 에서 $120$ 을 뺍니다.

$f (- 12) = \frac{24}{e^{12}}$

단계 6.2.3

최종 답은 $\frac{24}{e^{12}}$ 입니다.

$\frac{24}{e^{12}}$

단계 7

함수 $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ 의 수평 접선은 $y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$ 입니다.

$y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$

단계 8