미적분 예제

$y = 4 \cos (x) \sin (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \cos (x) \sin (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

단계 1.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.4

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.5

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.8

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

단계 1.9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

단계 1.10

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

단계 1.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

단계 1.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

단계 1.13

간단히 합니다.

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단계 1.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x))$

단계 1.13.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \cos^{2} (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$4 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

단계 2.2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$4 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

단계 2.2.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

단계 2.2.5

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 8 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 \sin^{2} (x)$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 입니다.

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x))$

단계 2.3.4

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$

단계 2.4

항을 묶습니다.

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단계 2.4.1

$- 8 \sin (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 8 \cos (x) \sin (x)$

단계 2.4.2

$- 8 \cos (x) \sin (x)$ 에서 $8 \cos (x) \sin (x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 16 \cos (x) \sin (x)$