미적분 예제

$y = 3 x \sin (x^{2})$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x \sin (x^{2})$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$3 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.8

식을 간단히 합니다.

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단계 1.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.8.2

$\cos (x^{2})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

단계 1.10

$\sin (x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

단계 1.11

간단히 합니다.

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단계 1.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) + 3 \sin (x^{2})$

단계 1.11.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} \cos (x^{2}) + 3 \sin (x^{2})$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} \cos (x^{2}) + 3 \sin (x^{2})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cos (x^{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2} \cos (x^{2})$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$6 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 (x^{2} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$6 (x \cdot x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.7.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (x^{1} x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (x^{1 + 2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.2.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \sin (x^{2})$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ 입니다.

$6 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

단계 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$6 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 3 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 3 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 3 (\cos (x^{2}) (2 x))$

단계 2.3.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 6 \cos (x^{2}) x$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2}))) + 6 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 6 \cos (x^{2}) x$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 12 (x^{3} (\sin (x^{2}))) + 6 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 6 \cos (x^{2}) x$

단계 2.4.2.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 12 x^{3} \sin (x^{2}) + 12 (\cos (x^{2}) (x)) + 6 \cos (x^{2}) x$

단계 2.4.2.3

$12 \cos (x^{2}) x$ 를 $6 \cos (x^{2}) x$ 에 더합니다.

$- 12 x^{3} \sin (x^{2}) + 18 \cos (x^{2}) x$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{3} \sin (x^{2}) + 18 x \cos (x^{2})$