미적분 예제

$\sin (\frac{x}{2})$

단계 1

$\sin (\frac{x}{2})$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 2.1.1.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 2.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\cos (\frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

단계 2.1.1.2.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.1.2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 2.1.2.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 2.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 2.1.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (\frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 2.1.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3.3

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.2.3.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.2.3.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

단계 2.1.2.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ 입니다.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

단계 2.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

단계 2.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.3.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

단계 2.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{x}{2} = 0$

단계 2.2.3.3

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x = 0$

단계 2.2.3.4

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$\frac{x}{2} = π - 0$

단계 2.2.3.5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.3.5.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

단계 2.2.3.5.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

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단계 2.2.3.5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.5.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.3.5.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

단계 2.2.3.5.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 2 (π - 0)$

단계 2.2.3.5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.5.2.2.1

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = 2 π$

단계 2.2.3.6

$\sin (\frac{x}{2})$ 주기를 구합니다.

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단계 2.2.3.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.2.3.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

단계 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 은 약 $0.5$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

단계 2.2.3.6.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 π \cdot 2$

단계 2.2.3.6.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 π$

단계 2.2.3.7

함수 $\sin (\frac{x}{2})$ 의 주기는 $4 π$ 이므로 양 방향으로 $4 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 4 π n, 2 π + 4 π n$

단계 2.2.4

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

단계 5.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

단계 5.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

단계 5.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

단계 5.2.1.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

단계 5.2.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

단계 5.2.3

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f'' (0) = - 0$

단계 5.2.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0$

단계 5.2.5

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6