미적분 예제

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 3$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ 입니다.

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

단계 1.2.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

단계 1.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

단계 1.4

$x = 3$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

단계 1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

단계 1.5.2

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

단계 1.5.3

$8$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 8 \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

단계 1.5.4

$2$ 를 $8$ 승 합니다.

$- \ln (256) + 2 (3)$

단계 1.5.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \ln (256) + 6$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $- \ln (256) + 6$ 과 주어진 점 $(3, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

단계 2.3.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

단계 2.3.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

단계 2.3.1.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.4.1.1

$- \ln (256) \cdot - 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.4.1.1.1

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

단계 2.3.1.4.1.1.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (256)$ 을 간단히 합니다.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

단계 2.3.1.4.1.2

$256$ 를 $3$ 승 합니다.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

단계 2.3.1.4.1.3

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

단계 2.3.1.4.2

$- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

단계 2.3.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

단계 2.3.3

$1$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

단계 2.3.4

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

단계 2.3.5

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

방정식의 양변에서 $6 x$ 를 뺍니다.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

단계 2.3.5.2

방정식의 양변에 $17$ 를 더합니다.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

단계 2.3.6

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.3.1.1

$\frac{x \ln (256)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.3.1.2

$- 1 \cdot (x \ln (256))$ 을 $- (x \ln (256))$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.3.1.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.3.1.4

$\ln (16777216)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.3.1.5

$\frac{- 6 x}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.3.1.6

$- 1 \cdot (- 6 x)$ 을 $- (- 6 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.3.1.7

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

단계 2.3.6.3.1.8

$17$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

단계 2.3.7

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$\ln (16777216)$ 를 옮깁니다.

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

단계 2.3.7.2

$- x \ln (256)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

단계 2.3.7.3

$6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

단계 2.3.7.4

$x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

단계 2.3.7.5

$x$ 와 $- 1 \ln (256) + 6$ 을 다시 정렬합니다.

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

단계 3