미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x}$ , $[0, 4]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = \sqrt{x}$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

함수가 $[0, 4]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f (x) = \sqrt{x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 2.1.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[0, 4]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 3.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 3.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 3.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 3.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

단계 3.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

단계 3.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

도함수가 $(0, 4)$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

함수가 $(0, 4)$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

단계 4.1.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

단계 4.1.2

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 4.1.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 \sqrt{x} = 0$

단계 4.1.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.1.4.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.1.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.2.2.1

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.2.2.1.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.1.4.2.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.1.4.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 4.1.4.2.2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 4.1.4.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{1} = 0^{2}$

단계 4.1.4.2.2.1.4

간단히 합니다.

$4 x = 0^{2}$

단계 4.1.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 x = 0$

단계 4.1.4.3

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.3.1

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 4.1.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 4.1.4.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{4}$

단계 4.1.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.3.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 4.1.5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(0, \infty)$

조건제시법:

${x | x > 0}$

구간 표기:

$(0, \infty)$

조건제시법:

${x | x > 0}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(0, 4)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(0, 4)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(0, 4)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[0, 4]$ 에서 연속이고 $(0, 4)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[0, 4]$ 에서 연속이며 $(0, 4)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[0, 4]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \sqrt{0}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (0) = \sqrt{0}$

단계 7.2.2

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (0) = \sqrt{0^{2}}$

단계 7.2.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (0) = 0$

단계 7.2.4

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 8

$[0, 4]$ 구간의 $f (b)$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = \sqrt{4}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (4) = \sqrt{4}$

단계 8.2.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (4) = \sqrt{2^{2}}$

단계 8.2.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (4) = 2$

단계 8.2.4

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 9

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (4) + f (0))}{- (4 + 0)}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 + 0}{(4) - (0)}$

단계 9.1.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{(4) - (0)}$

단계 9.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{4 + 0}$

단계 9.1.4

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{4}$

단계 9.1.5

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.5.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 (1)}{4}$

단계 9.1.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.5.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$

단계 9.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 2$

단계 9.2.2

$2 x^{\frac{1}{2}}, 2$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $2, 2$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $x^{\frac{1}{2}}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 9.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 9.2.4

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 9.2.5

$2, 2$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2$

단계 9.2.6

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$x^{\frac{1}{2}}$

단계 9.2.7

$2 x^{\frac{1}{2}}, 2$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $2$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

단계 9.3

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$ 의 각 항에 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$ 의 각 항에 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$1 = \frac{1}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$1 = x^{\frac{1}{2}}$

단계 9.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$x^{\frac{1}{2}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

단계 9.4.2

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $2$ 승합니다.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

단계 9.4.3

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

단계 9.4.3.1.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

단계 9.4.3.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = 1^{2}$

단계 9.4.3.1.1.2

간단히 합니다.

$x = 1^{2}$

단계 9.4.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = 1$

단계 10

$x = 1$ 에서 끝점 $a = 0$ 과 $b = 4$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 11