미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

단계 1.2

$e^{x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $3$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

상수 배수 $3$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

단계 1.2.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

단계 1.3.1.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

단계 1.3.2

$e^{5 x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $2$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

상수 배수 $2$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

단계 1.3.2.2

지수 $5 x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{5 x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{9 + \infty}$

단계 1.3.3

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.3.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

단계 3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $9 + 2 e^{5 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

단계 3.5

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

단계 3.6

$\frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{5 x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

단계 3.6.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

단계 3.6.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}$

단계 3.6.2.3

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

단계 3.6.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

단계 3.6.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

단계 3.6.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \cdot 5)}$

단계 3.6.6

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (5 e^{5 x})}$

단계 3.6.7

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 10 e^{5 x}}$

단계 3.7

$0$ 를 $10 e^{5 x}$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{10 e^{5 x}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{x}$ 및 $e^{5 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$3 e^{x}$ 에서 $e^{5 x}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{10 e^{5 x}}$

단계 4.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$10 e^{5 x}$ 에서 $e^{5 x}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

단계 4.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

단계 4.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{- 4 x}}{10}$

단계 4.2

$\frac{3}{10}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3}{10} lim_{x \to \infty} e^{- 4 x}$

단계 5

지수 $- 4 x$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- 4 x}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{3}{10} \cdot 0$

단계 6

$\frac{3}{10}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$