미적분 예제

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[0, π]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 3.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 3.1.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.1.3.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.1.3.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.1.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 3.1.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

단계 3.1.3.5

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ 입니다.

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

단계 4

도함수가 $(0, π)$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(0, π)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(0, π)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(0, π)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[0, π]$ 에서 연속이고 $(0, π)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[0, π]$ 에서 연속이며 $(0, π)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[0, π]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

단계 7.2.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

단계 7.2.1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + \sin (0)$

단계 7.2.1.4

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 7.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 7.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 8

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

단계 8.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

단계 8.2.1.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

단계 8.3.1.1.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

단계 8.3.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

단계 8.3.1.2.2

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

단계 8.3.1.3

$0$ 을 $π$ 로 나눕니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

단계 8.4

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $- 4 \sin^{2} (x)$ 를 $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

단계 8.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

단계 8.4.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

단계 8.4.2.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

단계 8.4.3

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

단계 8.4.4

다항식을 다시 정렬합니다.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

단계 8.4.5

$\cos (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

단계 8.4.6

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.6.1

$4 u^{2} + 2 u - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.6.1.1

$4 u^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

단계 8.4.6.1.2

$2 u$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

단계 8.4.6.1.3

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

단계 8.4.6.1.4

$2 (2 u^{2}) + 2 u$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

단계 8.4.6.1.5

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

단계 8.4.6.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.6.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.6.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.6.2.1.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

단계 8.4.6.2.1.1.2

$1$ 를 $- 1$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

단계 8.4.6.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

단계 8.4.6.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.6.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

단계 8.4.6.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

단계 8.4.6.2.1.3

최대공약수 $2 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

단계 8.4.6.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

단계 8.4.7

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

단계 8.4.8

$2 u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.8.1

$2 u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 u - 1 = 0$

단계 8.4.8.2

$2 u - 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.8.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 u = 1$

단계 8.4.8.2.2

$2 u = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.8.2.2.1

$2 u = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

단계 8.4.8.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.8.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.8.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

단계 8.4.8.2.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{1}{2}$

단계 8.4.9

$u + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.9.1

$u + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 1 = 0$

단계 8.4.9.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$u = - 1$

단계 8.4.10

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

단계 8.4.11

$u$ 에 $\cos (x)$ 를 대입합니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

단계 8.4.12

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

단계 8.4.13

$\cos (x) = \frac{1}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.13.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 8.4.13.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.13.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 8.4.13.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 8.4.13.4

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.13.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 8.4.13.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.13.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 8.4.13.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 8.4.13.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.13.4.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 8.4.13.4.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 8.4.13.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.13.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 8.4.13.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 8.4.13.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 8.4.13.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 8.4.13.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 8.4.14

$\cos (x) = - 1$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.14.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- 1)$

단계 8.4.14.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.14.2.1

$\arccos (- 1)$ 의 정확한 값은 $π$ 입니다.

$x = π$

단계 8.4.14.3

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - π$

단계 8.4.14.4

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 8.4.14.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.14.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 8.4.14.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 8.4.14.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 8.4.14.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 8.4.14.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π + 2 π n$

단계 8.4.15

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$

단계 8.4.16

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$

단계 9

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ 에서 끝점 $a = 0$ 과 $b = π$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 10