미적분 예제

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

단계 1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$r^{2} \cos (2 θ)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 로 바꿉니다.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

단계 1.1.2

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

단계 1.1.2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

단계 1.1.2.2.2

$r^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

단계 1.1.3

$- 1 r^{2}$ 을 $- r^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

단계 2

$\cos (θ) = \frac{x}{r}$ 에서 $\cos (θ)$ 에 $\frac{x}{r}$ 를 대입합니다.

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

단계 3

$r^{2} = x^{2} + y^{2}$ 에서 $r^{2}$ 에 $x^{2} + y^{2}$ 를, $r$ 에 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 를 대입합니다.

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4

표준형으로 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.2

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 을 곱합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.3.1

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 을 곱합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.2

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.3

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.6

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ 을 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 을(를) ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.3.6.5

간단히 합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.4

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.4.1

$\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.4.2

$x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.5

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ 을 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 을(를) ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.5.5

간단히 합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.6

$x^{2} + y^{2}$ 및 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.6.1

$x^{2} (x^{2} + y^{2})$ 에서 $x^{2} + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.6.2.1

${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 에서 $x^{2} + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.7

$2 x^{2} + 2 y^{2}$ 에 $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.8

$2 x^{2} + 2 y^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.8.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.8.2

$2 y^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.8.3

$2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.9

$x^{2} + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.9.2

$2 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

단계 4.1.1.1.10

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

단계 4.1.1.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$x^{2} - y^{2} = 1$

단계 4.1.2

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

단계 4.1.3

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

단계 4.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

단계 4.1.3.2.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

단계 4.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

단계 4.1.3.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

단계 4.1.3.3.1.3

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

단계 4.1.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

단계 4.1.5

$\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

단계 4.1.5.1.2

$- 1^{2}$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

단계 4.1.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

단계 4.1.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

단계 4.1.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

단계 4.1.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

단계 4.2

다항식을 표준형으로 바꾸기 위해, 식을 정리하고 내림차순으로 항을 정렬합니다.

$y = a x^{2} + b x + c$

단계 4.3

표준형은 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 입니다.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5