미적분 예제

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\sin (x) \cos (x) + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.8

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.9

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

단계 1.1.4.2

$- \sin^{2} (x)$ 와 $\cos^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

단계 1.1.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \cos (x)$ 이고 $b = \sin (x)$ 입니다.

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.1.4.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.1.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.1.4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.4.5

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.5.1

인수가 항 $\cos (x) (- \sin (x))$ 과(와) $\sin (x) \cos (x)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.4.5.2

$- \cos (x) \sin (x)$ 를 $\cos (x) \sin (x)$ 에 더합니다.

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.4.5.3

$\cos (x) \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.4.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.6.1

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.6.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.4.6.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.4.6.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.4.6.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.4.6.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

단계 1.1.4.6.3

$- \sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.6.3.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

단계 1.1.4.6.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

단계 1.1.4.6.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

단계 1.1.4.6.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

단계 1.1.4.7

코사인 배각공식을 적용합니다.

$f' (x) = \cos (2 x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\cos (2 x)$ 입니다.

$\cos (2 x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\cos (2 x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\cos (2 x) = 0$

단계 2.2

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$2 x = \arccos (0)$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$2 x = \frac{π}{2}$

단계 2.4

$2 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 2.4.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 2.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 2.4.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 2.4.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 2.5

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 2.6

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.6.1.2

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.6.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 2.6.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 2.6.1.5

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.6.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 2.6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 2.6.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 2.6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 2.6.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.2.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 2.7

$\cos (2 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

단계 2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 2.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 2.7.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 2.8

함수 $\cos (2 x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

단계 2.9

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 입니다.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

단계 4

도함수 $f' (x) = \cos (2 x)$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1))$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

단계 5.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

단계 5.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

단계 5.2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

단계 5.2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

단계 5.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot - 1)$

단계 5.2.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

단계 5.2.3

최종 답은 $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ 입니다.

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

단계 5.3

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ 에서의 도함수는 $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ 에서 감소함

단계 6

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1))$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

단계 6.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

단계 6.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

단계 6.2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

단계 6.2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

단계 6.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot 1)$

단계 6.2.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

단계 6.2.3

최종 답은 $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ 입니다.

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

단계 6.3

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ 에서의 도함수는 $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$

단계 8