미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 3 x}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

$8$ 와 $- 3 x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 x + 8}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

단계 1.2.2

최고차항 계수가 음수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

단계 1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $8 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

단계 3.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

단계 3.4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

단계 3.5

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $9 x^{2} + 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

단계 3.7

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.7.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

단계 3.7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]}$

단계 3.7.3

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + \frac{d}{d x} [11]}$

단계 3.8

$11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $11$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + 0}$

단계 3.9

$18 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$- 3$ 및 $18$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{18 x}$

단계 4.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.1

$18 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{3 (6 x)}$

단계 4.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot - 1}{3 (6 x)}$

단계 4.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{6 x}$

단계 4.2

$\frac{1}{6}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{x}$

단계 5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{- 1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{1}{6} \cdot 0$

단계 6

$\frac{1}{6}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$