미적분 예제

$x \ln (x) - x$

단계 1

$x \ln (x) - x$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x \ln (x) - x$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int x \ln (x) - x d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x \ln (x) d x + \int - x d x$

단계 5

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

단계 6.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x) + \int - x d x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x) + \int - x d x$

단계 8.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x) + \int - x d x$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x) + \int - x d x$

단계 8.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

단계 8.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

단계 8.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x) + \int - x d x$

단계 8.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int - x d x$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x + \int - x d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

단계 10

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

단계 12.2

간단히 합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 12.3

간단히 합니다.

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단계 12.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x^{2}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 12.3.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 12.3.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C$

단계 12.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + C$

단계 12.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - x^{2} \cdot 2}{4} + C$

단계 12.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - 2 x^{2}}{4} + C$

단계 12.3.5

$- x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{4} + C$

단계 12.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$

단계 14

답은 함수 $f (x) = x \ln (x) - x$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$