미적분 예제

$f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 6 x - 10$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $f (x, y) - x^{2} - y^{2} + 6 x + 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.2

행렬의 각 원소에 $f$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.4

$- y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y^{2}$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.5

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.5.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.5.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + 6 + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.6

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + 6 + 0$

단계 1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

항을 묶습니다.

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단계 1.7.1.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 6 + 0$

단계 1.7.1.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 6$

단계 1.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 6$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.2.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$d$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.3.2

행렬의 각 원소에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.3.3

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$f x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.3.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.2.1

$f$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.3.3.2.2

$\frac{f}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (6)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

단계 2.4.2

$- 2 + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 6 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 4.1.2

행렬의 각 원소에 $f$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 4.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 4.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 4.1.4

$- y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y^{2}$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 4.1.5

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 4.1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

단계 4.1.5.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + 6 + \frac{d}{d x} [10]$

단계 4.1.6

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + 6 + 0$

단계 4.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 6 + 0$

단계 4.1.7.1.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 6$

단계 4.1.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 6$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 6$ 입니다.

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 6$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 6 = 0$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{d}{d x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$d x = 0$

단계 6.2

$d x = 0$ 의 각 항을 $d$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$d x = 0$ 의 각 항을 $d$ 로 나눕니다.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$d$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

단계 6.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{d}$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$0$ 을 $d$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$d$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 2 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

단계 9.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 10

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 11