미적분 예제

$\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

단계 1

$\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

단계 5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$x - x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 5.2.1.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 5.2.1.3

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 5.2.1.4

$x \cdot 1 + x (- x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 5.2.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{3}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \int x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 5.2.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.3.1

$x^{- \frac{1}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

단계 5.2.3.2

$x^{- \frac{1}{3}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

단계 5.2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

단계 5.2.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

단계 5.2.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

단계 5.2.3.5

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

단계 6

$x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ 을 전개합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

단계 6.2

$x^{\frac{2}{3}}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

단계 6.3

$x^{\frac{2}{3}}$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

단계 6.4

$x^{\frac{2}{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

단계 6.5

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

단계 6.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

단계 6.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

단계 6.8

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

단계 6.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

단계 6.10

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{2}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

단계 9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{\frac{5}{3}} d x)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{5}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C))$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$

단계 12

답은 함수 $f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$