미적분 예제

$y = {(x^{3} - 2 x)}^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{3} - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} - 2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$2 (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 1.2.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)$

단계 1.2.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x^{3} + 2 (- 2 x)) (3 x^{2} - 2)$

단계 1.3.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$

단계 1.3.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$ 를 전개합니다.

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단계 1.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{3} (3 x^{2} - 2) - 4 x (3 x^{2} - 2)$

단계 1.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2} - 2)$

단계 1.3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \cdot 3 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.4.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 \cdot 3 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \cdot 3 x^{2 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.2.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 \cdot 3 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.4

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.4.1.6.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x) - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.6.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.4.1.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2 + 1} - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.6.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.7

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

단계 1.3.4.1.8

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x$

단계 1.3.4.2

$- 4 x^{3}$ 에서 $12 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{5}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.2.3

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 16 x^{3}$ 의 미분은 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$30 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.3.3

$3$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \cdot 1$

단계 2.4.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $30 x^{4}$ 의 미분은 $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$30 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 3.2.3

$4$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x^{2}$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$120 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

단계 3.3.3

$2$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [8]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$120 x^{3} - 96 x + 0$

단계 3.4.2

$120 x^{3} - 96 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 120 x^{3} - 96 x$