미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

단계 1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

단계 1.3

지수 $7 x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{7 x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.4

$3$ 와 $\frac{1}{3 x}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.7

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

단계 3.8

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x]}$

단계 3.8.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x]}$

단계 3.8.3

$u$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]}$

단계 3.9

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])}$

단계 3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \cdot 1)}$

단계 3.11

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \cdot 7}$

단계 3.12

$e^{7 x}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 \cdot e^{7 x}}$

단계 3.13

$7$ 에 $e^{7 x}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 e^{7 x}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{7 e^{7 x}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (7 e^{7 x})}$

단계 5.2

$\frac{1}{7}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{7 x})}$

단계 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x (e^{7 x})}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{1}{7} \cdot 0$

단계 7

$\frac{1}{7}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$