미적분 예제

$3 x + 3 \cos (x)$

단계 1

$3 x + 3 \cos (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 3 x + 3 \cos (x)$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x + 3 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

단계 2.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

단계 2.1.2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \cos (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$3 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.1.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$3 + 3 (- \sin (x))$

단계 2.1.3.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 - 3 \sin (x)$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 - 3 \sin (x)$ 입니다.

$3 - 3 \sin (x)$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 - 3 \sin (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 - 3 \sin (x) = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- 3 \sin (x) = - 3$

단계 3.3

$- 3 \sin (x) = - 3$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$- 3 \sin (x) = - 3$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

단계 3.3.2.1.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = \frac{- 3}{- 3}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1

$- 3$ 을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = 1$

단계 3.4

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (1)$

단계 3.5

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$\arcsin (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 3.6

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - \frac{π}{2}$

단계 3.7

$π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 3.7.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 3.7.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

단계 3.7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

단계 3.7.3.2

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 3.8

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 3.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 3.8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 3.8.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 3.9

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 입니다.

$\frac{π}{2} + 2 π n$

단계 5

도함수 $f' (x) = 3 - 3 \sin (x)$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 3 x + 3 \cos (x)$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

단계 6

$(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2} + 2 π n - 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n - 1) = 3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

단계 6.2

최종 답은 $3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ 입니다.

$3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

단계 6.4

$x = \frac{π}{2} + 2 π n - 1$ 에서의 도함수는 $3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ 에서 감소함

단계 7

$(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2} + 2 π n + 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n + 1) = 3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

단계 7.2

최종 답은 $3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ 입니다.

$3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

단계 7.4

$x = \frac{π}{2} + 2 π n + 1$ 에서의 도함수는 $3 - 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n), (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

단계 9