미적분 예제

$f (x) = 2 \sqrt{x} + \frac{5}{3 x^{3}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 \sqrt{x} + \frac{5}{3 x^{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.10

$2$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.12

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 2.13

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{3 x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{5}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{3 x^{3}}$ 의 미분은 $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

단계 3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

단계 3.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

단계 3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

단계 3.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

단계 3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

단계 3.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{3} (- 3 x^{- 4})$

단계 3.8

$- 3$ 와 $\frac{5}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 \cdot 5}{3} x^{- 4}$

단계 3.9

$- 3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 15}{3} x^{- 4}$

단계 3.10

$\frac{- 15}{3}$ 와 $x^{- 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 15 x^{- 4}}{3}$

단계 3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 15}{3 x^{4}}$

단계 3.12

$- 15$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.12.1

$- 15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot - 5}{3 x^{4}}$

단계 3.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.12.2.1

$3 x^{4}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot - 5}{3 (x^{4})}$

단계 3.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot - 5}{3 x^{4}}$

단계 3.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 5}{x^{4}}$

단계 3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{4}}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$