미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} + 6 x - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 6 x - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 6 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 4.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 x^{2} + 6 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 4.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 6 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 4.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 4.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 6 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 4.6

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 4.7

$\frac{1}{x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 4.8

$x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 5

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 6

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 3 e^{x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 6.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 3 e^{x} - \cos (x)$

단계 7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$6 x^{2} + 6 + \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{x} - \cos (x)$

단계 8

항을 다시 정렬합니다.

$6 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{x} + 6 - \cos (x)$