미적분 예제

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

단계 2

$f (x) = \arcsin (x)$ , $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{x - 1}{u}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

단계 2.2

$\arcsin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 입니다.

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x - 1}{u}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

단계 3.2

$\frac{1}{u}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x - 1}{u}$ 의 미분은 $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ 입니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 3.3

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

단계 3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

단계 3.7.2

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x - 1}{u}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

단계 4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

단계 4.2.3

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ 을 $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.2.3.1

$\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.2.3.1.1

$u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

단계 4.2.3.1.2

$u^{2}$ 에서 완전제곱인 $u^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

단계 4.2.3.1.3

분수 $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

단계 4.2.3.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

단계 4.2.4

$\frac{1}{u}$ 와 $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

단계 4.2.5

$u$ 와 $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

단계 4.2.6

$u$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

단계 4.2.6.2

$\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$