미적분 예제

$f (x) = 2 \ln (\csc (x^{2}))$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \ln (\csc (x^{2}))$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \csc (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\csc (x^{2})$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

단계 2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\csc (x^{2})$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{1}{\csc (x^{2})} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

단계 3

$\csc (x^{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 (\frac{1}{\frac{1}{\sin (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

단계 4

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$2 (1 \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

단계 5

$\sin (x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

단계 6

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.2

$\csc (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 입니다.

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x^{2}) (\csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)$

단계 7.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 4 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

단계 8.2

$\cot (x^{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

단계 8.3

$- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1

$- 4$ 와 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 묶습니다.

$x \frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

단계 8.3.2

$x$ 와 $\frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (- 4 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

단계 8.4

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$\frac{- 4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

단계 8.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

단계 8.6

$\csc (x^{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

단계 8.7

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ 을 곱합니다.

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단계 8.7.1

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 에 $\frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

단계 8.7.2

$\sin (x^{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

단계 8.7.3

$\sin (x^{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x^{2})$

단계 8.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x^{2})$

단계 8.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

단계 8.8

$\sin (x^{2})$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.8.1

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

단계 8.8.2

$\sin^{2} (x^{2})$ 에서 $\sin (x^{2})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

단계 8.8.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

단계 8.8.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

단계 8.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

단계 8.10

분수를 나눕니다.

$- (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})})$

단계 8.11

$\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 $\cot (x^{2})$ 로 변환합니다.

$- (\frac{4 x}{1} \cot (x^{2}))$

단계 8.12

$4 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (4 x \cot (x^{2}))$

단계 8.13

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 x \cot (x^{2})$