미적분 예제

$f (x) = 20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$

단계 1

합의 법칙에 의해 $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$20$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})]$ 입니다.

$20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})] + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]$ 가 됩니다.

$20 (\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.3

$\frac{1}{12}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{12}$ 의 미분은 $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$20 (\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.5

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \ln (\frac{t}{13})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]$ 입니다.

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.6

$f (t) = \ln (t)$ , $g (t) = \frac{t}{13}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{t}{13}$ 로 바꿉니다.

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.6.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.6.3

$u$ 를 모두 $\frac{t}{13}$ 로 바꿉니다.

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.7

$\frac{1}{13}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{13}$ 의 미분은 $\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.9

$\frac{1}{12}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.10

$\frac{t}{13}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$20 (\frac{1}{12} - (1 \frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.11

$\frac{13}{t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.12

$\frac{1}{13}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} \cdot \frac{1}{13})) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.13

$\frac{13}{t}$ 에 $\frac{1}{13}$ 을 곱합니다.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{t \cdot 13}) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.14

$t$ 의 왼쪽으로 $13$ 이동하기

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 \cdot t}) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.15

$13$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.15.1

공약수로 약분합니다.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 t}) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 2.15.2

수식을 다시 씁니다.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + \frac{d}{d t} [30]$

단계 3

$30$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $30$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $30$ 입니다.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + 0$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$20 (\frac{1}{12}) + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$20$ 와 $\frac{1}{12}$ 을 묶습니다.

$\frac{20}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

단계 4.2.2

$20$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (5)}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

단계 4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

단계 4.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

단계 4.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

단계 4.2.3

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} - 20 \frac{1}{t} + 0$

단계 4.2.4

$- 20$ 와 $\frac{1}{t}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3} + \frac{- 20}{t} + 0$

단계 4.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t} + 0$

단계 4.2.6

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{20}{t} + \frac{5}{3}$