미적분 예제

$f (x) = 3 \arctan (e^{5 x})$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \arctan (e^{5 x})$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{5 x})]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{5 x})]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = e^{5 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{5 x}$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

단계 2.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$3 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{5 x}$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{1}{1 + {(e^{5 x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

단계 3

분수를 통분합니다.

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단계 3.1

${(e^{5 x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 (\frac{1}{1 + e^{5 x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

단계 3.1.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

단계 3.2

$\frac{1}{1 + e^{10 x}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$e^{5 x}$ 와 $\frac{3}{1 + e^{10 x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{5 x} \cdot 3}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 5.2

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 5.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{3 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.4

분수를 통분합니다.

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단계 5.4.1

$5$ 와 $\frac{3 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 (3 e^{5 x})}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.4.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} \cdot 1$

단계 5.6

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}}$