미적분 예제

$f (x) = 5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{9}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.3

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \ln (\frac{x}{9})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{9})] + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x}{9}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{9}$ 로 바꿉니다.

$5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.4.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$5 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{9}$ 로 바꿉니다.

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.5

$\frac{1}{9}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{9}$ 의 미분은 $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.7

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.8

$\frac{x}{9}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$5 (x^{4} (1 \frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.9

$\frac{9}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.10

$\frac{1}{9}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} \cdot \frac{1}{9}) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.11

$\frac{9}{x}$ 에 $\frac{1}{9}$ 을 곱합니다.

$5 (x^{4} \frac{9}{x \cdot 9} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.12

$x$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$5 (x^{4} \frac{9}{9 \cdot x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.13

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.13.1

공약수로 약분합니다.

$5 (x^{4} \frac{9}{9 x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.13.2

수식을 다시 씁니다.

$5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.14

$x^{4}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.15

$x^{4}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.15.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.15.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.15.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.15.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.15.2.3

공약수로 약분합니다.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.15.2.4

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.15.2.5

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{3} + 5 (\ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{3} + 20 (\ln (\frac{x}{9}) (x^{3})) + 4 x^{3}$

단계 4.2.2

$5 x^{3}$ 를 $4 x^{3}$ 에 더합니다.

$9 x^{3} + 20 \ln (\frac{x}{9}) x^{3}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (\frac{x}{9})$