미적분 예제

$f (x) = 500 (1 + (\frac{4 x}{50 + x^{2}}))$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [500 (\frac{50 + x^{2}}{50 + x^{2}} + \frac{4 x}{50 + x^{2}})]$

단계 1.2

항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [500 \frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

단계 1.2.2

$500$ 와 $\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}]$

단계 1.3

$500$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}$ 의 미분은 $500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$ 입니다.

$500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

단계 2

$f (x) = 50 + x^{2} + 4 x$ , $g (x) = 50 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) \frac{d}{d x} [50 + x^{2} + 4 x] - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $50 + x^{2} + 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 가 됩니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

$50$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $50$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $50$ 입니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \cdot 1) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.8

합의 법칙에 의해 $50 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.9

$50$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $50$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $50$ 입니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (2 x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.12

분수를 통분합니다.

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단계 3.12.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.12.2

$500$ 와 $\frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) + (- 2 \cdot 50 - 2 x^{2} - 2 (4 x)) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 \cdot 50 x - 2 x^{2} x - 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(50 + x^{2}) (2 x + 4)$ 를 전개합니다.

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단계 4.4.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{500 (50 (2 x + 4) + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1.2.1

$2$ 에 $50$ 을 곱합니다.

$\frac{500 (100 x + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.2.2

$50$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{500 (100 x + 200 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.2.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.2.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.2.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1.2.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.2.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.2.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + 4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{500 (100 x) + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.4

간단히 합니다.

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단계 4.4.1.4.1

$100$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.4.2

$500$ 에 $200$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.4.3

$2$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.4.4

$4$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.5

$- 2$ 에 $50$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 100 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.6

$- 100$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x \cdot x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.7.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{1 + 2}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{3}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.8

$- 2$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.9

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.9.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 (x \cdot x)))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.9.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x^{2}))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.10

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 8 x^{2})}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.1.11

$- 8$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.2

$50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.4.2.1

$50000 x$ 에서 $50000 x$ 을 뺍니다.

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 0 - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.2.2

$100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.2.3

$1000 x^{3}$ 에서 $1000 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{100000 + 2000 x^{2} + 0 - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.2.4

$100000 + 2000 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{100000 + 2000 x^{2} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4.3

$2000 x^{2}$ 에서 $4000 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{100000 - 2000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2000 x^{2} + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

단계 4.6

$- 2000 x^{2} + 100000$ 에서 $2000$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.6.1

$- 2000 x^{2}$ 에서 $2000$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2000 (- x^{2}) + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

단계 4.6.2

$100000$ 에서 $2000$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2000 (- x^{2}) + 2000 (50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

단계 4.6.3

$2000 (- x^{2}) + 2000 (50)$ 에서 $2000$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2000 (- x^{2} + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

단계 4.7

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2000 (- (x^{2}) + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

단계 4.8

$50$ 을 $- 1 (- 50)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2000 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

단계 4.9

$- (x^{2}) - 1 (- 50)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2000 (- (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

단계 4.10

$- (x^{2} - 50)$ 을 $- 1 (x^{2} - 50)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2000 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

단계 4.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2000 (x^{2} - 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$