미적분 예제

$f (x) = 50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

단계 1.2

$50$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $50$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $50$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 25$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ 의 미분은 $- 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ 입니다.

$0 - 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

단계 2.2

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.4

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = t + 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t + 3$ 로 바꿉니다.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $t + 3$ 로 바꿉니다.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $t + 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ 가 됩니다.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.7

$3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.8

${(t + 3)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$0 - 25 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.10

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.11

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

단계 2.12

${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.12.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.12.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 2.13

$- 25$ 와 $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{- 25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 2.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.1

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{50 ({(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.3.2

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{1 + 2}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{3}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.3.5

$- 2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.3.6

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.3.7

$- 6$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.3.8

$0$ 에서 $\frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ 을 뺍니다.

$- \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}$ 에서 $50 t$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1.1

$50 {(t + 3)}^{2} t$ 에서 $50 t$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.1.2

$- 50 t^{3}$ 에서 $50 t$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.1.3

$- 150 t^{2}$ 에서 $50 t$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.1.4

$50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2})$ 에서 $50 t$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.1.5

$50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)$ 에서 $50 t$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.2

${(t + 3)}^{2}$ 을 $(t + 3) (t + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{50 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(t + 3) (t + 3)$ 를 전개합니다.

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단계 3.4.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{50 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.4.1.1

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$- \frac{50 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.4.1.2

$t$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.4.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.4.2

$3 t$ 를 $3 t$ 에 더합니다.

$- \frac{50 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.5

$t^{2}$ 에서 $t^{2}$ 을 뺍니다.

$- \frac{50 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.6

$6 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{50 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.7

$6 t$ 에서 $3 t$ 을 뺍니다.

$- \frac{50 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.8

$3 t + 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.8.1

$3 t$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{50 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.8.2

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{50 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.8.3

$3 t + 3 \cdot 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{50 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{50 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.4.9

$3$ 에 $50$ 을 곱합니다.

$- \frac{150 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.5

$t + 3$ 및 ${(t + 3)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.1

$150 t (t + 3)$ 에서 $t + 3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

단계 3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.1

${(t + 3)}^{4}$ 에서 $t + 3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

단계 3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

단계 3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{150 t}{{(t + 3)}^{3}}$