미적분 예제

$f (x) = 6 x {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x {(4 - x^{2})}^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{2}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{2}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(4 - x^{2})}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{2}] + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 4 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $4 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 (x (2 (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $4 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$6 (x (2 (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$6 (x (2 (4 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$6 (x (2 (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 (x (2 (4 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (x (- 2 (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x (- 2 (4 - x^{2}) (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$6 (x (- 4 (4 - x^{2}) x) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (x^{1} x (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (x^{1} x^{1} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (x^{1 + 1} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 (x^{2} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \cdot 1)$

단계 10

${(4 - x^{2})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (x^{2} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2})$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (- 4 \cdot 4 - 4 (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2})$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (- 4 \cdot 4) + x^{2} (- 4 (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2})$

단계 11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (- 4 \cdot 4)) + 6 (x^{2} (- 4 (- x^{2}))) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.4

항을 묶습니다.

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단계 11.4.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$6 (x^{2} \cdot - 16) + 6 (x^{2} (- 4 (- x^{2}))) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.4.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 16$ 이동하기

$6 (- 16 \cdot x^{2}) + 6 (x^{2} (- 4 (- x^{2}))) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.4.3

$- 16$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 96 x^{2} + 6 (x^{2} (- 4 (- x^{2}))) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.4.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 96 x^{2} + 6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.4.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.4.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 96 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.4.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 96 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.4.5.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 96 x^{2} + 6 (x^{4} \cdot 4) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.4.6

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- 96 x^{2} + 6 (4 \cdot x^{4}) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.4.7

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 96 x^{2} + 24 x^{4} + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

단계 11.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.6.1

${(4 - x^{2})}^{2}$ 을 $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 ((4 - x^{2}) (4 - x^{2}))$

단계 11.6.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ 를 전개합니다.

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단계 11.6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}))$

단계 11.6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}))$

단계 11.6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))$

단계 11.6.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 11.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.6.3.1.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))$

단계 11.6.3.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))$

단계 11.6.3.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}))$

단계 11.6.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2})$

단계 11.6.3.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.6.3.1.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}))$

단계 11.6.3.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2})$

단계 11.6.3.1.5.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4})$

단계 11.6.3.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4})$

단계 11.6.3.1.7

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4})$

단계 11.6.3.2

$- 4 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 8 x^{2} + x^{4})$

단계 11.6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 \cdot 16 + 6 (- 8 x^{2}) + 6 x^{4}$

단계 11.6.5

간단히 합니다.

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단계 11.6.5.1

$6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 96 + 6 (- 8 x^{2}) + 6 x^{4}$

단계 11.6.5.2

$- 8$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 96 - 48 x^{2} + 6 x^{4}$

단계 11.7

$24 x^{4}$ 를 $6 x^{4}$ 에 더합니다.

$30 x^{4} - 96 x^{2} + 96 - 48 x^{2}$

단계 11.8

$- 96 x^{2}$ 에서 $48 x^{2}$ 을 뺍니다.

$30 x^{4} - 144 x^{2} + 96$