미적분 예제

$f (x) = - 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \cos^{3} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- 4 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (\sin (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.6

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 4 (\sin (x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.7

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.8

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.11

지수를 더하여 $\cos^{3} (x)$ 에 $\cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.11.1

$\cos^{3} (x)$ 에 $\cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.11.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.11.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 2.11.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$ 입니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$

단계 3.2

$f (x) = \sin^{3} (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

단계 3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

단계 3.4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

단계 3.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

단계 3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

단계 3.5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

단계 3.6

지수를 더하여 $\sin^{3} (x)$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.1

$\sin (x)$ 를 옮깁니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

단계 3.6.2

$\sin (x)$ 에 $\sin^{3} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.2.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

단계 3.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 ({\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

단계 3.6.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

단계 3.7

$\sin^{4} (x)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

단계 3.8

$- 1 \sin^{4} (x)$ 을 $- \sin^{4} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

단계 3.9

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

단계 3.10

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

단계 3.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1})$

단계 3.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$- 3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$12 (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

단계 4.3.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

단계 4.3.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 (\sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

단계 4.3.4

$- 12 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

단계 4.3.5

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ 에서 $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ 을 뺍니다.

$0 - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

단계 4.3.6

$0$ 에서 $4 \cos^{4} (x)$ 을 뺍니다.

$- 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

단계 4.4

$4 \sin^{4} (x)$ 을 ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 \cos^{4} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

단계 4.5

$4 \cos^{4} (x)$ 을 ${(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- {(2 \cos^{2} (x))}^{2} + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

단계 4.6

$- {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ 와 ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

${(2 \sin^{2} (x))}^{2} - {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$

단계 4.7

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 \sin^{2} (x)$ 이고 $b = 2 \cos^{2} (x)$ 입니다.

$(2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

단계 4.8

$2 \sin^{2} (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

단계 4.9

$2 \cos^{2} (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

단계 4.10

$2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

단계 4.11

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$2 \cdot 1 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

단계 4.12

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

단계 4.13

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x))$

단계 4.14

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (2 \sin^{2} (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

단계 4.15

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \sin^{2} (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

단계 4.16

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$