미적분 예제

$f (x) = 4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

단계 1.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

단계 2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{x}{2} + 1)]$

단계 3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (\frac{x}{2} + 1)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$ 입니다.

$0 - 2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$

단계 3.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$0 - 2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

단계 3.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$0 - 2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $\frac{x}{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 3.5

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + 0))$

단계 3.8

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} + 0))$

단계 3.9

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \cdot \frac{1}{2})$

단계 3.10

$\frac{1}{\frac{x}{2} + 1}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x - \frac{1}{(\frac{x}{2} + 1) \cdot 2}$

단계 3.11

$\frac{x}{2} + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$0 - 2 x - \frac{1}{2 (\frac{x}{2} + 1)}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$0 - 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

단계 4.2.2

$2$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

단계 4.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 x - \frac{1}{x + 2 \cdot 1}$

단계 4.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x - \frac{1}{x + 2}$

단계 4.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2 x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 곱합니다.

$- 2 x \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

단계 4.2.6

$- 2 x$ 와 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 x (x + 2)}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

단계 4.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 x (x + 2) - 1}{x + 2}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

단계 4.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

단계 4.3.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

단계 4.3.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 1}{x + 2}$

단계 4.4

$- 2 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2}) - 4 x - 1}{x + 2}$

단계 4.5

$- 4 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2}) - (4 x) - 1}{x + 2}$

단계 4.6

$- (2 x^{2}) - (4 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1}{x + 2}$

단계 4.7

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)}{x + 2}$

단계 4.8

$- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

단계 4.9

$- (2 x^{2} + 4 x + 1)$ 을 $- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

단계 4.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$