미적분 예제

$f (x) = 3 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{6} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{6} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 1.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 + 3 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 3.3

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$0 + 3 + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 3.4

$\frac{2}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 3.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.1

공약수로 약분합니다.

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 3.5.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + 3 + x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{5}{6}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{6} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$0 + 3 + x + \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 + x + \frac{5}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 4.3

$3$ 와 $\frac{5}{6}$ 을 묶습니다.

$0 + 3 + x + \frac{3 \cdot 5}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 4.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$0 + 3 + x + \frac{15}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 4.5

$\frac{15}{6}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$0 + 3 + x + \frac{15 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 4.6

$15$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.1

$15 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 4.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 5

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{24}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{24} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 5.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 5.3

$4$ 와 $\frac{1}{24}$ 을 묶습니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 5.4

$\frac{4}{24}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 5.5

$4$ 및 $24$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 (x^{3})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 5.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

단계 6

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{120}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{120} x^{5}$ 의 미분은 $\frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 6.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} (5 x^{4})$

단계 6.3

$5$ 와 $\frac{1}{120}$ 을 묶습니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5}{120} x^{4}$

단계 6.4

$\frac{5}{120}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{120}$

단계 6.5

$5$ 및 $120$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.1

$5 x^{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 (x^{4})}{120}$

단계 6.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.2.1

$120$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

단계 6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

단계 6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

단계 7.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 3$