미적분 예제

$h (x) = {(8 - 5 x)}^{3} - 7 {(8 - 5 x)}^{2} + 3 (8 - 5 x) - 1$

단계 1

${(8 - 5 x)}^{2}$ 을 $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 3.1.2

$- 5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 3.1.3

$8$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 3.1.6

$- 5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 3.2

$- 40 x$ 에서 $40 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

단계 4

합의 법칙에 의해 ${(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 8 - 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $8 - 5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.3

$u$ 를 모두 $8 - 5 x$ 로 바꿉니다.

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $8 - 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 가 됩니다.

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.4

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.6

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.7

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.8

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6

$\frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}]$ 입니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.2

합의 법칙에 의해 $64 - 80 x + 25 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ 가 됩니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.3

$64$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $64$ 입니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.4

$- 80$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 80 x$ 의 미분은 $- 80 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.6

$25$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $25 x^{2}$ 의 미분은 $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.8

$- 80$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.9

$0$ 에서 $80$ 을 뺍니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.10

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 7

$\frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 (8 - 5 x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x]$ 입니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 7.2

합의 법칙에 의해 $8 - 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 가 됩니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 7.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 7.4

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 7.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 7.6

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 7.7

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 7.8

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 8

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + 0$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \cdot - 80 - 7 (50 x) - 15 + 0$

단계 9.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 7$ 에 $- 80$ 을 곱합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 7 (50 x) - 15 + 0$

단계 9.2.2

$50$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 350 x - 15 + 0$

단계 9.2.3

$560$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545 + 0$

단계 9.2.4

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$

단계 9.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

${(8 - 5 x)}^{2}$ 을 $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$- 15 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

단계 9.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 15 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

단계 9.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

단계 9.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

단계 9.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1.1

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 15 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

단계 9.3.3.1.2

$- 5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 15 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

단계 9.3.3.1.3

$8$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

단계 9.3.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) - 350 x + 545$

단계 9.3.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) - 350 x + 545$

단계 9.3.3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) - 350 x + 545$

단계 9.3.3.1.6

$- 5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 15 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

단계 9.3.3.2

$- 40 x$ 에서 $40 x$ 을 뺍니다.

$- 15 (64 - 80 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

단계 9.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- 15 \cdot 64 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

단계 9.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.5.1

$- 15$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$- 960 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

단계 9.3.5.2

$- 80$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$- 960 + 1200 x - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

단계 9.3.5.3

$25$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$- 960 + 1200 x - 375 x^{2} - 350 x + 545$

단계 9.4

$- 960$ 를 $545$ 에 더합니다.

$1200 x - 375 x^{2} - 350 x - 415$

단계 9.5

$1200 x$ 에서 $350 x$ 을 뺍니다.

$- 375 x^{2} + 850 x - 415$