미적분 예제

$h (x) = 5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = 5^{x}$ , $g (x) = 3 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2.1.2

$a$ = $5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x - 5$ 로 바꿉니다.

$5^{3 x - 5} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$5^{3 x - 5} \ln (5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2.7

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5^{3 x - 5} \ln (5) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 2.8

$5^{3 x - 5} \ln (5)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $x \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 3.5

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$f (x) = \log_{4} (x)$ , $g (x) = x^{4} + 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $x^{4} + 7 x$ 로 바꿉니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\log_{4} (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

단계 4.1.2

$\log_{4} (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{3} \ln (4)}$ 입니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{u_{3} \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

단계 4.1.3

$u_{3}$ 를 모두 $x^{4} + 7 x$ 로 바꿉니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 가 됩니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 4.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 4.4

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \cdot 1)$

단계 4.6

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

단계 5.3

불필요한 괄호를 제거합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} x (- \sin (x)) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) - e^{x \cos (x)} x \sin (x) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + (4 x^{3} + 7) \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)}$