미적분 예제

$h (r) = \frac{r^{2} + 2 r + 2}{5 r + 6}$

단계 1

$f (r) = r^{2} + 2 r + 2$ , $g (r) = 5 r + 6$ 일 때 $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ 는 $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 r + 6) \frac{d}{d r} [r^{2} + 2 r + 2] - (r^{2} + 2 r + 2) \frac{d}{d r} [5 r + 6]}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $r^{2} + 2 r + 2$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{(5 r + 6) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [2]) - (r^{2} + 2 r + 2) \frac{d}{d r} [5 r + 6]}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [2]) - (r^{2} + 2 r + 2) \frac{d}{d r} [5 r + 6]}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.3

$2$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $2 r$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]) - (r^{2} + 2 r + 2) \frac{d}{d r} [5 r + 6]}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [2]) - (r^{2} + 2 r + 2) \frac{d}{d r} [5 r + 6]}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2 + \frac{d}{d r} [2]) - (r^{2} + 2 r + 2) \frac{d}{d r} [5 r + 6]}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.6

$2$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2 + 0) - (r^{2} + 2 r + 2) \frac{d}{d r} [5 r + 6]}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.7

$2 r + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2) - (r^{2} + 2 r + 2) \frac{d}{d r} [5 r + 6]}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $5 r + 6$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [5 r] + \frac{d}{d r} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2) - (r^{2} + 2 r + 2) (\frac{d}{d r} [5 r] + \frac{d}{d r} [6])}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.9

$5$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $5 r$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2) - (r^{2} + 2 r + 2) (5 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [6])}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2) - (r^{2} + 2 r + 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [6])}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.11

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2) - (r^{2} + 2 r + 2) (5 + \frac{d}{d r} [6])}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.12

$6$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2) - (r^{2} + 2 r + 2) (5 + 0)}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.13

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2) - (r^{2} + 2 r + 2) \cdot 5}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 2.13.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2) - 5 (r^{2} + 2 r + 2)}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(5 r + 6) (2 r + 2) - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(5 r + 6) (2 r + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 r (2 r + 2) + 6 (2 r + 2) - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 r (2 r) + 5 r \cdot 2 + 6 (2 r + 2) - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 r (2 r) + 5 r \cdot 2 + 6 (2 r) + 6 \cdot 2 - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{5 \cdot 2 r \cdot r + 5 r \cdot 2 + 6 (2 r) + 6 \cdot 2 - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.2

지수를 더하여 $r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1.2.1

$r$ 를 옮깁니다.

$\frac{5 \cdot 2 (r \cdot r) + 5 r \cdot 2 + 6 (2 r) + 6 \cdot 2 - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.2.2

$r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

$\frac{5 \cdot 2 r^{2} + 5 r \cdot 2 + 6 (2 r) + 6 \cdot 2 - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.3

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10 r^{2} + 5 r \cdot 2 + 6 (2 r) + 6 \cdot 2 - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{10 r^{2} + 10 r + 6 (2 r) + 6 \cdot 2 - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.5

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{10 r^{2} + 10 r + 12 r + 6 \cdot 2 - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.6

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10 r^{2} + 10 r + 12 r + 12 - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

$10 r$ 를 $12 r$ 에 더합니다.

$\frac{10 r^{2} + 22 r + 12 - 5 r^{2} - 5 (2 r) - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{10 r^{2} + 22 r + 12 - 5 r^{2} - 10 r - 5 \cdot 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.1.4

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10 r^{2} + 22 r + 12 - 5 r^{2} - 10 r - 10}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.2

$10 r^{2}$ 에서 $5 r^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{5 r^{2} + 22 r + 12 - 10 r - 10}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.3

$22 r$ 에서 $10 r$ 을 뺍니다.

$\frac{5 r^{2} + 12 r + 12 - 10}{{(5 r + 6)}^{2}}$

단계 3.2.4

$12$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$\frac{5 r^{2} + 12 r + 2}{{(5 r + 6)}^{2}}$