미적분 예제

$h (x) = {(x^{2} + 5)}^{2} (x - 5)$

단계 1

$f (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ , $g (x) = x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

단계 2.3

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

단계 2.4.2

${(x^{2} + 5)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

단계 3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 5$ 로 바꿉니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 5$ 로 바꿉니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$x - 5$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 \cdot (x - 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

단계 4.4

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + 0)$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x)$

단계 4.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + 4 (x - 5) (x^{2} + 5) x$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x + 4 \cdot - 5) (x^{2} + 5) x$

단계 5.2

$4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

단계 5.3

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ 에서 $x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

${(x^{2} + 5)}^{2}$ 에서 $x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

단계 5.3.2

$(4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ 에서 $x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$

단계 5.3.3

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$ 에서 $x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + (4 x - 20) x)$

단계 5.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x \cdot x - 20 x)$

단계 5.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.4.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 (x \cdot x) - 20 x)$

단계 5.4.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x^{2} - 20 x)$

단계 5.5

$x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$

단계 5.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$ 를 전개합니다.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.7.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$5 x^{4} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 x^{4} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{2} x + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.7.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x \cdot x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.7.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x^{1} x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{1 + 2} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.6

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.7

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 + 5 (- 20 x)$

단계 5.7.8

$- 20$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 - 100 x$

단계 5.8

$5 x^{2}$ 를 $25 x^{2}$ 에 더합니다.

$5 x^{4} - 20 x^{3} + 30 x^{2} + 25 - 100 x$