미적분 예제

$h (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{5}$

단계 1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

단계 1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 로 바꿉니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

단계 2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 1 + \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $1 + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 에 더합니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 6

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 7

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 10

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)) \cdot 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4}$

단계 11

$(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \cdot ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (1 (- \sin (x))) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4

항을 묶습니다.

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단계 12.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (- 1 \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.2

$- 1 \sin (x)$ 을 $- \sin (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5 (- \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.3

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.8

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.9

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.10

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ 에 $\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)) \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2} {(1 + \sin (x))}^{4}}$

단계 12.4.11

지수를 더하여 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 에 ${(1 + \sin (x))}^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 12.4.11.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)) \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2 + 4}}$

단계 12.4.11.2

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{(- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)) \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.6

$- 5 \sin^{2} (x)$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.7

$- 5 \cos^{2} (x)$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.8

$- 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.9

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.10

$- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.10.1

$- 5 \sin (x)$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 (\sin (x)) - 5 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.10.2

$- 5 \cdot 1$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 (\sin (x)) - 5 (1))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.10.3

$- 5 (\sin (x)) - 5 (1)$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 (\sin (x) + 1))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

$\frac{\cos^{4} (x) \cdot - 5 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.11

$\sin (x) + 1$ 및 ${(1 + \sin (x))}^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.11.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos^{4} (x) \cdot - 5 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.11.2

$\cos^{4} (x) \cdot - 5 (1 + \sin (x))$ 에서 $1 + \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{4} (x) \cdot - 5)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

단계 12.11.3

공약수로 약분합니다.

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단계 12.11.3.1

${(1 + \sin (x))}^{6}$ 에서 $1 + \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{4} (x) \cdot - 5)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{5}}$

단계 12.11.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{4} (x) \cdot - 5)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{5}}$

단계 12.11.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos^{4} (x) \cdot - 5}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

단계 12.12

$\cos^{4} (x)$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$\frac{- 5 \cdot \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

단계 12.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$