미적분 예제

$q (x) = \sin (x) \sec (2 x)$

단계 1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \sec (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.2

$\sec (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec (u) \tan (u)$ 입니다.

$\sin (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.3.2

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot (\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec (2 x) \cos (x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 \sec (2 x) \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2.2

$2$ 와 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2.3

$\frac{2}{\cos (2 x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2.4

$\tan (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2.5

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.5.1

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)}$ 에 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2.5.2

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2.5.3

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

단계 5.2.6

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

단계 5.2.7

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$\cos^{2} (2 x)$ 에서 $\cos (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.2

분수를 나눕니다.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (2 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.4

$\sin (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.5

간단히 합니다.

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단계 5.3.5.1

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.5.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.6

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.7

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 을 $\tan (2 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{1} \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.8

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.9

$\frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.10

$\cos (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.11

간단히 합니다.

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단계 5.3.11.1

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

단계 5.3.11.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$