미적분 예제

$Q (r) = (r^{2} + 1) (r^{3} - r) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 1

$f (r) = (r^{2} + 1) (r^{3} - r)$ , $g (r) = 3 r^{4} + 2 r - 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 는 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [3 r^{4} + 2 r - 1] + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 r^{4} + 2 r - 1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [3 r^{4}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]$ 가 됩니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (\frac{d}{d r} [3 r^{4}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 2.2

$3$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $3 r^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ 입니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (3 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 2.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (3 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 2.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 2.5

$2$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $2 r$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 2.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 2.8

$- 1$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 + 0) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 2.9

$12 r^{3} + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

단계 3

$f (r) = r^{2} + 1$ , $g (r) = r^{3} - r$ 일 때 $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 는 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) \frac{d}{d r} [r^{3} - r] + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $r^{3} - r$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [- r]$ 가 됩니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (\frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [- r]) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

단계 4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} + \frac{d}{d r} [- r]) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

단계 4.3

$- 1$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $- r$ 의 미분은 $- \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - \frac{d}{d r} [r]) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1 \cdot 1) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

단계 4.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

단계 4.6

합의 법칙에 의해 $r^{2} + 1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ 가 됩니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]))$

단계 4.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (2 r + \frac{d}{d r} [1]))$

단계 4.8

$1$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (2 r + 0))$

단계 4.9

식을 간단히 합니다.

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단계 4.9.1

$2 r$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (2 r))$

단계 4.9.2

$r^{3} - r$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 \cdot (r^{3} - r) r)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (2 r^{3} + 2 (- r)) r)$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{3} r + 2 (- r) r)$

단계 5.3

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 (r^{1} r^{3}) + 2 (- r) r)$

단계 5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{1 + 3} + 2 (- r) r)$

단계 5.5

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} + 2 (- r) r)$

단계 5.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r \cdot r)$

단계 5.7

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 (r^{1} r))$

단계 5.8

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 (r^{1} r^{1}))$

단계 5.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{1 + 1})$

단계 5.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$

단계 5.11

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.11.1

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2)) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$

단계 5.11.2

$(3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2)) + 1 ((3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}))$

단계 5.11.3

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2)) + 1 ((3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}))$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}))$

단계 5.12

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$

단계 5.13

항을 다시 정렬합니다.

$(12 r^{3} + 2) (r^{2} + 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.14.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(12 r^{3} + 2) (r^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 5.14.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(12 r^{3} (r^{2} + 1) + 2 (r^{2} + 1)) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(12 r^{3} r^{2} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 (r^{2} + 1)) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(12 r^{3} r^{2} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.14.2.1

지수를 더하여 $r^{3}$ 에 $r^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.14.2.1.1

$r^{2}$ 를 옮깁니다.

$(12 (r^{2} r^{3}) + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(12 r^{2 + 3} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.2.1.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$(12 r^{5} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.2.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(12 r^{5} + 12 r^{3} + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(12 r^{5} + 12 r^{3} + 2 r^{2} + 2) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.3

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(12 r^{5} + 12 r^{3} + 2 r^{2} + 2) (r^{3} - r)$ 를 전개합니다.

$12 r^{5} r^{3} + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.14.4.1

지수를 더하여 $r^{5}$ 에 $r^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 5.14.4.1.1

$r^{3}$ 를 옮깁니다.

$12 (r^{3} r^{5}) + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 r^{3 + 5} + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.1.3

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$12 r^{8} + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 r^{5} r + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.3

지수를 더하여 $r^{5}$ 에 $r$ 을 곱합니다.

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단계 5.14.4.3.1

$r$ 를 옮깁니다.

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 (r \cdot r^{5}) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.3.2

$r$ 에 $r^{5}$ 을 곱합니다.

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단계 5.14.4.3.2.1

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 (r^{1} r^{5}) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 r^{1 + 5} + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.3.3

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 r^{6} + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.4

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.5

지수를 더하여 $r^{3}$ 에 $r^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.4.5.1

$r^{3}$ 를 옮깁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 (r^{3} r^{3}) + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{3 + 3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.5.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 r^{3} r + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.7

지수를 더하여 $r^{3}$ 에 $r$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.4.7.1

$r$ 를 옮깁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 (r \cdot r^{3}) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.7.2

$r$ 에 $r^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.4.7.2.1

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 (r^{1} r^{3}) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 r^{1 + 3} + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.7.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 r^{4} + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.8

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.9

지수를 더하여 $r^{2}$ 에 $r^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.4.9.1

$r^{3}$ 를 옮깁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 (r^{3} r^{2}) + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{3 + 2} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.9.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.10

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 r^{2} r + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.11

지수를 더하여 $r^{2}$ 에 $r$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.4.11.1

$r$ 를 옮깁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 (r \cdot r^{2}) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.11.2

$r$ 에 $r^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.4.11.2.1

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 (r^{1} r^{2}) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 r^{1 + 2} + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.11.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 r^{3} + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.12

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.4.13

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.5

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.5.1

$- 12 r^{6}$ 를 $12 r^{6}$ 에 더합니다.

$12 r^{8} + 0 - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.5.2

$12 r^{8}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.5.3

$- 2 r^{3}$ 를 $2 r^{3}$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 0 - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.5.4

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (r^{2} (3 r^{2} - 1) + 1 (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (r^{2} (3 r^{2}) + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (r^{2} (3 r^{2}) + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.6.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.2.1.2

지수를 더하여 $r^{2}$ 에 $r^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.6.2.1.2.1

$r^{2}$ 를 옮깁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 (r^{2} r^{2}) + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.2.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{2 + 2} + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.2.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.2.1.3

$r^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - 1 \cdot r^{2} + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.2.1.4

$- 1 r^{2}$ 을 $- r^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - r^{2} + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.2.1.5

$3 r^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - r^{2} + 3 r^{2} + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.2.1.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - r^{2} + 3 r^{2} - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.6.2.2

$- r^{2}$ 를 $3 r^{2}$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} + 2 r^{2} - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.7

$3 r^{4} + 2 r^{2} - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.7.1

$2 r^{2}$ 에서 $2 r^{2}$ 을 뺍니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - 1 + 2 r^{4} + 0) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.7.2

$3 r^{4} - 1 + 2 r^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - 1 + 2 r^{4}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.8

$3 r^{4}$ 를 $2 r^{4}$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (5 r^{4} - 1) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

단계 5.14.9

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(5 r^{4} - 1) (3 r^{4} + 2 r - 1)$ 를 전개합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 r^{4} (3 r^{4}) + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.10.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 r^{4} r^{4} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.2

지수를 더하여 $r^{4}$ 에 $r^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.10.2.1

$r^{4}$ 를 옮깁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 (r^{4} r^{4}) + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 r^{4 + 4} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.2.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 r^{8} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 r^{4} r + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.5

지수를 더하여 $r^{4}$ 에 $r$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.10.5.1

$r$ 를 옮깁니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 (r \cdot r^{4}) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.5.2

$r$ 에 $r^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.10.5.2.1

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 (r^{1} r^{4}) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 r^{1 + 4} + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.5.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 r^{5} + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.6

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.7

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.8

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 3 r^{4} - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 3 r^{4} - 2 r - 1 \cdot - 1$

단계 5.14.10.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 3 r^{4} - 2 r + 1$

단계 5.14.11

$- 5 r^{4}$ 에서 $3 r^{4}$ 을 뺍니다.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 8 r^{4} - 2 r + 1$

단계 5.15

$12 r^{8}$ 를 $15 r^{8}$ 에 더합니다.

$27 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 10 r^{5} - 8 r^{4} - 2 r + 1$

단계 5.16

$- 12 r^{4}$ 에서 $8 r^{4}$ 을 뺍니다.

$27 r^{8} + 2 r^{5} - 2 r + 10 r^{5} - 20 r^{4} - 2 r + 1$

단계 5.17

$2 r^{5}$ 를 $10 r^{5}$ 에 더합니다.

$27 r^{8} + 12 r^{5} - 2 r - 20 r^{4} - 2 r + 1$

단계 5.18

$- 2 r$ 에서 $2 r$ 을 뺍니다.

$27 r^{8} + 12 r^{5} - 20 r^{4} - 4 r + 1$