미적분 예제

$r (t) = t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$

단계 1

합의 법칙에 의해 $t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$i$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $t^{2} i$ 의 미분은 $i \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$i \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$i (2 t) + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 2.3

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 i t + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$j$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $(1 - t) j$ 의 미분은 $j \frac{d}{d t} [1 - t]$ 입니다.

$2 i t + j \frac{d}{d t} [1 - t] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $1 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$2 i t + j (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 3.3

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 i t + j (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 3.4

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 i t + j (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 i t + j (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 i t + j (0 - 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 3.7

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 i t + j \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 3.8

$j$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$2 i t - 1 \cdot j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 3.9

$- 1 j$ 을 $- j$ 로 바꿔 씁니다.

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

단계 4

$\frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{3}$ 와 $t^{3}$ 을 묶습니다.

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3}}{3} \cdot k]$

단계 4.2

$\frac{2 t^{3}}{3}$ 와 $k$ 을 묶습니다.

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3} k}{3}]$

단계 4.3

$\frac{2 k}{3}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{2 t^{3} k}{3}$ 의 미분은 $\frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 입니다.

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 4.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} (3 t^{2})$

단계 4.5

$3$ 와 $\frac{2 k}{3}$ 을 묶습니다.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k)}{3} t^{2}$

단계 4.6

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 i t - j + \frac{6 k}{3} t^{2}$

단계 4.7

$\frac{6 k}{3}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$2 i t - j + \frac{6 k t^{2}}{3}$

단계 4.8

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.8.1

$6 k t^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3}$

단계 4.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 (1)}$

단계 4.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 \cdot 1}$

단계 4.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 i t - j + \frac{2 k t^{2}}{1}$

단계 4.8.2.4

$2 k t^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 i t - j + 2 k t^{2}$

단계 5

항을 다시 정렬합니다.

$2 i t + 2 t^{2} k - j$