미적분 예제

$G (y) = {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{3}$

단계 1

$f (y) = y^{3}$ , $g (y) = \frac{y^{2}}{2 y - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ 로 바꿉니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

단계 2

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = 2 y - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2}] - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) (2 y) - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3.2

$2 y - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (2 y - 1) y - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $2 y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3.4

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3.7

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + 0)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3.8

분수를 통분합니다.

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단계 3.8.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} \cdot 2}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 3.8.3

$\frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{(2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}) \cdot 3}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

단계 3.8.4

$2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 ((2 (2 y) + 2 \cdot - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 (2 y) y + 2 \cdot - 1 y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 (2 y) y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5

항을 묶습니다.

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단계 4.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (4 y \cdot y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (4 (y^{1} y)) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.3

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (4 (y^{1} y^{1})) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 (4 y^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 (4 y^{2}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.6

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{12 y^{2} + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{12 y^{2} + 3 (- 2 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.8

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{12 y^{2} - 6 y + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.9

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{12 y^{2} - 6 y - 6 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.10

$12 y^{2}$ 에서 $6 y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.11

${(y^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.5.11.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{2 \cdot 2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.12

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}}$ 에 $\frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2} {(2 y - 1)}^{2}}$

단계 4.5.13

지수를 더하여 ${(2 y - 1)}^{2}$ 에 ${(2 y - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.13.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2 + 2}}$

단계 4.5.13.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{4}}$

단계 4.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y^{4} (6 y^{2} - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$6 y^{2} - 6 y$ 에서 $6 y$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.7.1.1

$6 y^{2}$ 에서 $6 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{4} (6 y (y) - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

단계 4.7.1.2

$- 6 y$ 에서 $6 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{4} (6 y (y) + 6 y (- 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

단계 4.7.1.3

$6 y (y) + 6 y (- 1)$ 에서 $6 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{4} (6 y (y - 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

$\frac{y^{4} \cdot 6 y (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

단계 4.7.2

지수를 묶습니다.

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단계 4.7.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{6 (y^{4} y^{1}) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

단계 4.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 y^{4 + 1} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

단계 4.7.2.3

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6 y^{5} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$