미적분 예제

$g (y) = (3 y^{4} - y^{2}) (y^{2} - 4)$

단계 1

$f (y) = 3 y^{4} - y^{2}$ , $g (y) = y^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 y^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} - 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4]$ 가 됩니다.

$(3 y^{4} - y^{2}) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 y^{4} - y^{2}) (2 y + \frac{d}{d y} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

단계 2.3

$- 4$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$(3 y^{4} - y^{2}) (2 y + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(3 y^{4} - y^{2}) (2 y) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

단계 2.4.2

$3 y^{4} - y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $3 y^{4} - y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d y} [3 y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

단계 2.6

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 입니다.

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (3 \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

단계 2.7

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (3 (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

단계 2.8

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

단계 2.9

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 2.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - (2 y))$

단계 2.11

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - 2 y)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 (3 y^{4}) + 2 (- y^{2})) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - 2 y)$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (3 y^{4}) y + 2 (- y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - 2 y)$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (3 y^{4}) y + 2 (- y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3}) + (y^{2} - 4) (- 2 y)$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (3 y^{4}) y + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + (y^{2} - 4) (- 2 y)$

단계 3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (3 y^{4}) y + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6

항을 묶습니다.

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단계 3.6.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 y^{4} y + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (y^{1} y^{4}) + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 y^{1 + 4} + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.4

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$6 y^{5} + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 y^{5} - 2 y^{2} y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.6

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 y^{5} - 2 (y^{1} y^{2}) + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 y^{5} - 2 y^{1 + 2} + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.8

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.9

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.9.1

$y^{3}$ 를 옮깁니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + y^{3} y^{2} \cdot 12 - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + y^{3 + 2} \cdot 12 - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.9.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + y^{5} \cdot 12 - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.10

$y^{5}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 \cdot y^{5} - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.11

$12$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.12

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.12.1

$y$ 를 옮깁니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y \cdot y^{2} \cdot - 2 - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.12.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.12.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y^{1} y^{2} \cdot - 2 - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.12.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y^{1 + 2} \cdot - 2 - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.12.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y^{3} \cdot - 2 - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.13

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} - 2 \cdot y^{3} - 4 (- 2 y)$

단계 3.6.14

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} - 2 y^{3} + 8 y$

단계 3.6.15

$- 48 y^{3}$ 에서 $2 y^{3}$ 을 뺍니다.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 50 y^{3} + 8 y$

단계 3.6.16

$6 y^{5}$ 를 $12 y^{5}$ 에 더합니다.

$18 y^{5} - 2 y^{3} - 50 y^{3} + 8 y$

단계 3.6.17

$- 2 y^{3}$ 에서 $50 y^{3}$ 을 뺍니다.

$18 y^{5} - 52 y^{3} + 8 y$