미적분 예제

$g (x) = (x^{2} + 1) \arctan (x)$

단계 1

$f (x) = x^{2} + 1$ , $g (x) = \arctan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + 0)$

단계 3.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$x^{2} + 1$ 에 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

단계 4.2.2

$x^{2} + 1$ 및 $1 + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

단계 4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

단계 4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$1 + 2 x \arctan (x)$