미적분 예제

$g (x) = {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 1}$

단계 1

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = \frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

단계 1.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ 로 바꿉니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

단계 2

$f (t) = 1 + \sin (3 t)$ , $g (t) = 3 - 2 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $1 + \sin (3 t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ 가 됩니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 3.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ 에 더합니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 4

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = 3 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 t$ 로 바꿉니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 4.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \cdot 1) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) \cdot 3 - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.3.2

$(3 - 2 t) \cos (3 t)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 \cdot ((3 - 2 t) \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.4

합의 법칙에 의해 $3 - 2 t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ 가 됩니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.5

$3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.6

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ 에 더합니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [- 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.7

$- 2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 2 t$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (- 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.8

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \cdot 1}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 5.10

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6.5

항을 묶습니다.

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단계 6.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + \sin (3 t))}^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{{(3 - 2 t)}^{- 2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6.5.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 을 활용하여 ${(3 - 2 t)}^{- 2}$ 를 분자로 이동합니다.

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6.5.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6.5.4

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6.5.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

단계 6.5.6

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ 에 $\frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

단계 6.5.7

${(3 - 2 t)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.7.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

단계 6.5.7.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$