미적분 예제

$g (x) = (3 x^{2} + 7) (3 x + \sqrt{x})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 7) (3 x + x^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = 3 x^{2} + 7$ , $g (x) = 3 x + x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [3 x + x^{\frac{1}{2}}] + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x + x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$(3 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 3.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 10

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

단계 12

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (6 x + \frac{d}{d x} [7])$

단계 13

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (6 x + 0)$

단계 14

식을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (6 x)$

단계 14.2

$3 x + x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 6 \cdot (3 x + x^{\frac{1}{2}}) x$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (6 (3 x) + 6 x^{\frac{1}{2}}) x$

단계 15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 6 (3 x) x + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

단계 15.3

항을 묶습니다.

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단계 15.3.1

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x \cdot x + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

단계 15.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 (x^{1} x) + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

단계 15.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 (x^{1} x^{1}) + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

단계 15.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{1 + 1} + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

단계 15.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

단계 15.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

단계 15.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{1 + \frac{1}{2}}$

단계 15.3.8

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

단계 15.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

단계 15.3.10

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.4

항을 다시 정렬합니다.

$18 x^{2} + (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) (3 x^{2} + 7) + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) (3 x^{2} + 7)$ 를 전개합니다.

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단계 15.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$18 x^{2} + 3 (3 x^{2} + 7) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 7) + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$18 x^{2} + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 7 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 7) + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$18 x^{2} + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 7 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.5.2.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 3 \cdot 7 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2.2

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2.4

$3$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2.5

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.5.2.5.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} x^{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2.5.2

$x^{2}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2.5.3

공약수로 약분합니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2.5.4

수식을 다시 씁니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2.6

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.5.2.7

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.6

$18 x^{2}$ 를 $9 x^{2}$ 에 더합니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

단계 15.7

공통 분모를 가지는 분수로 $6 x^{\frac{3}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.8

$6 x^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 15.10.1

$3 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ 에서 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 15.10.1.1

$x^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.10.1.2

$3 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1) + 6 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.10.1.3

$6 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1) + 3 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.10.1.4

$3 x^{\frac{3}{2}} (1) + 3 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ 에서 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.10.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.10.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$27 x^{2} + 21 + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$