미적분 예제

$g (u) = \frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$

단계 1

$3$ 은 $u$ 에 대해 일정하므로 $u$ 에 대한 $\frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$

단계 2

$f (u) = u^{2}$ , $g (u) = {(u^{2} + u)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ 는 $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}}$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

${({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{3 \cdot 2}}$

단계 3.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} (2 u) - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 3.3

${(u^{2} + u)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 \frac{2 \cdot {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 4

$f (u) = u^{3}$ , $g (u) = u^{2} + u$ 일 때 $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ 는 $f' (g (u)) g' (u)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $u^{2} + u$ 로 바꿉니다.

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 4.3

$u_{1}$ 를 모두 $u^{2} + u$ 로 바꿉니다.

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $u^{2} + u$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ 가 됩니다.

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 5.5

$3$ 와 $\frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ 에서 $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.2.1.1

$3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u$ 에서 $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.1.2

$3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ 에서 $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.1.3

$3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))$ 에서 $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.2

$u^{2} + u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.2.2.1

$u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(u \cdot u + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.2.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 {(u \cdot u + u^{1})}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.2.3

$u^{1}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.2.4

$u \cdot u + u \cdot 1$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(u (u + 1))}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.3

$u (u + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 u^{2} {(u + 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.4

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (u^{1} u^{2}) {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 u^{1 + 2} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2 \cdot 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u \cdot u + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.4

지수를 더하여 $u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.4.1

$u$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u \cdot u) + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.4.2

$u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u) - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.7

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.5.8.1

지수를 더하여 $u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.5.8.1.1

$u$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 (u \cdot u) - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.8.1.2

$u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.5.8.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 6 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.6

$2 u^{2}$ 에서 $6 u^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} + 2 u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.7

$2 u$ 에서 $3 u$ 을 뺍니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.8

$- 4 u^{2} - u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.8.1

$- 4 u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.8.2

$- u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) + u \cdot - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.8.3

$u (- 4 u) + u \cdot - 1$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u - 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} u (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.9

지수를 묶습니다.

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단계 6.2.9.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (u^{1} u^{3}) {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 u^{1 + 3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.2.9.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

단계 6.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$u^{2} + u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.1.1

$u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u)}^{6}}$

단계 6.3.1.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u^{1})}^{6}}$

단계 6.3.1.3

$u^{1}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{6}}$

단계 6.3.1.4

$u \cdot u + u \cdot 1$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u (u + 1))}^{6}}$

단계 6.3.2

$u (u + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

단계 6.4

$u^{4}$ 및 $u^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

$3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ 에서 $u^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$u^{6} {(u + 1)}^{6}$ 에서 $u^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

단계 6.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

단계 6.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

단계 6.5

${(u + 1)}^{2}$ 및 ${(u + 1)}^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.1

$3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ 에서 ${(u + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

단계 6.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

$u^{2} {(u + 1)}^{6}$ 에서 ${(u + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

단계 6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

단계 6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

단계 6.6

$- 4 u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (4 u) - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

단계 6.7

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- (4 u) - 1 (1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

단계 6.8

$- (4 u) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

단계 6.9

$- (4 u + 1)$ 을 $- 1 (4 u + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

단계 6.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 (4 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$