미적분 예제

$g (t) = {(4 t + 3 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4 t$ 를 $3 t$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d t} [{(7 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

단계 1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$7 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d t} [7^{2} t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

단계 1.2.2

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{d}{d t} [49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

단계 1.3

$49$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ 의 미분은 $49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$ 입니다.

$49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

단계 2

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$49 (t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} - 9)}^{- 3}] + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 3

$f (t) = t^{- 3}$ , $g (t) = 3 t^{2} - 9$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 t^{2} - 9$ 로 바꿉니다.

$49 (t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 3.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$49 (t^{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $3 t^{2} - 9$ 로 바꿉니다.

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $3 t^{2} - 9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ 가 됩니다.

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4.5

$- 9$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + 0)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$6 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4.6.2

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$49 (t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} t) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 5

지수를 더하여 $t^{2}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$t$ 를 옮깁니다.

$49 (t \cdot t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 5.2

$t$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$49 (t^{1} t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$49 (t^{1 + 2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} (2 t))$

단계 7

${(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + 2 \cdot {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

단계 8.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

$- 18$ 와 $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$49 (t^{3} \frac{- 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$49 (t^{3} (- \frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4.3

$t^{3}$ 와 $\frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$49 (- \frac{t^{3} \cdot 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4.4

$t^{3}$ 의 왼쪽으로 $18$ 이동하기

$49 (- \frac{18 \cdot t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4.5

$- 1$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$- 49 \frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4.6

$- 49$ 와 $\frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 49 (18 t^{3})}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4.7

$18$ 에 $- 49$ 을 곱합니다.

$\frac{- 882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4.9

$2$ 와 $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

단계 8.4.10

$\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 \frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.4.11

$49$ 와 $\frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{49 (2 t)}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.4.12

$2$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1.1

$3 t^{2} - 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1.1.1

$3 t^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5.1.1.2

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5.1.1.3

$3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2} - 3))}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5.1.2

$3 (t^{2} - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{882 t^{3}}{3^{4} {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5.1.3

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$- \frac{882 t^{3}}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5.2

$882$ 및 $81$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.2.1

$882 t^{3}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{9 (98 t^{3})}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.2.2.1

$81 {(t^{2} - 3)}^{4}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

단계 8.5.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.3.1

$3 t^{2} - 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.3.1.1

$3 t^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{3}}$

단계 8.5.3.1.2

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{3}}$

단계 8.5.3.1.3

$3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2} - 3))}^{3}}$

단계 8.5.3.2

$3 (t^{2} - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{3^{3} {(t^{2} - 3)}^{3}}$

단계 8.5.3.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{27 {(t^{2} - 3)}^{3}}$